【讲义追思】【“中位线定理”的逆定理】

中位线定理

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若点D是AB的中点，点E是AC的中点，则DE//BC，DE=BC.

逆定理1(点D是AB上少量，点E是AC上少量)若DE//BC，DE=BC，则点D是AB的中点，点E是AC的中点.

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解说环节1：追思讲义延迟DE到点F，使EF=DE，纠合AF、CF、CD.∵EF=DE=BC，∴DF=DE+EF=BC，又∵DE//BC，∴四边形BCFD是平行四边形，∴CF//BA，CF=BD，凭据AAS解说：△AED≅△CEF，∴CF=AD，AE=CE，∴AD=BD，即：点D是AB的中点，点E是AC的中点.

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解说环节2：雷同三角形∵DE//BC，∴△ADE∼△ABC，∴===，∴AD=AB，AE=AC，∴点D是AB的中点，点E是AC的中点.

逆定理2(点D是AB上少量，点E是AC上少量)若点D是AB的中点，DE//BC，则点E是AC的中点，DE=BC.

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解说环节1：追思讲义延迟ED到点F，使DF=DE，纠合AF、BF、BE.∵点D是AB的中点，∴AD=BD，∴四边形AEBF是平行四边形，∴BF//AC，BF=AE，又∵DE//BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BF=CE，BC=EF，∴AE=CE，DE=EF=BC，即：点E是AC的中点，DE=BC.

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解说环节2：中位线取BC的中点F，纠合DF.∵点D是AB的中点，∴DF//AC，DF=AC，又∵DE//BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∴CE=DF=AC，DE=CF=BC，即：点E是AC的中点，DE=BC.

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解说环节3：平行线分线段成比例∵DE//BC，∴==1，∴AE=CE，即：点E是AC的中点，又∵点D是AB的中点，∴DE=BC.

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解说环节4：平行公理取AC的中点F，纠合DF，∵点D是AB的中点，∴DF//BC，DF=BC，∵DE//BC，∴DE与DF重合，(过直线外少量，有且唯有一条直线与已知直线平行.)∴点E是AC的中点，DE=BC.

逆命题(点D是AB上少量，点E是AC上少量)若点D是AB的中点，DE=BC，则点E是AC的中点，DE//BC.

1.当∠C是锐角或钝角时，此命题不一定树立.

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反例：如图，以AB的中点D为圆心，BC长为半径画圆，交AC于点E、E.此时，点D是AB的中点，DE=BC，但点E不是AC的中点，DE与BC起义行.

2.当∠C是直角时，此命题树立.

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以AB的中点D为圆心，BC长为半径画圆，可解说圆与AC相切于点E(作垂直，证半径)，此时，点E是AC的中点，DE//BC.